NMS c3.13 - Una estudiante lanza un llavero hacia arriba, a su hermana, que está en una ventana 5 m más arriba. Las llaves son detenidas por el brazo extendido de su hermana, pero no puede atraparlas, cayendo a manos de la estudiante que las arrojó, quien las recibe 1,6 s después de que las lanzó. (Considere despreciable el tiempo necesario para detener las llaves).
    a) ¿Con qué velocidad inicial fueron lanzadas las llaves?
    b) ¿Cuál era la velocidad de las llaves justo antes de ser detenidas por la hermana de la estudiante?

Como siempre, empecemos con un esquema.

Tenemos dos movimientos, ambos libres verticales: uno de ascenso y otro diferente de descenso. Tienen cosas en común (como que uno empieza justo cuando termina el otro, también que tienen la misma aceleración...), pero como son dos movimientos diferentes tienen que tener ecuaciones horarias diferentes; ambas del mismo tipo, y cuyos modelos son éstos:

y = y_o + v_o ( t – t_o) + ½ g ( t – t_o)²

v = v_o ( t – t_o) + g ( t – t_o)

De modo que el ejercicio debe describirse con cuatro ecuaciones: dos para el movimiento de ascenso y dos para el de descenso. Las cuatro se construyen de la misma manera: reemplazando las constantes de los modelos (t_o, y_o, v_o, y g) por las constantes iniciales de cada movimiento. Así quedan:

Y a dónde te creés que llegaste: a un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas en donde las incógnitas son las que te pide el enunciado del ejercicio. No inventamos nada, no hicimos para este planteo nada que no hayamos hecho para todos los ejercicios de cinemática... El resto es álgebra. Es muy importante que visualices este límite entre la física y el álgebra. Si lo hacés... ya podés ir sintiéndote físico... porque te lo ganaste.

Te cuento cómo vamos a resolverlo: la ecuación [4] la vamos a ignorar, ya que no aporta información interesante ni el enunciado nos pide averiguar la velocidad con la que llega el llavero de regreso (aunque podría). El resto es un sistema de 3x3. De la última vamos a sacar el valor de t_h. Ojo, es una cuadrática que para ordenarla tenés que desarrollar el cuadrado del binomio. Acá va:

0 m = 5 m – 5 m/s² . [ (1,6 s)² – 2 . 1,6 s . t_h + t_h² ]

0 m = 5 m – 5 m/s² . [ 2,56 s² – 3,2 s . t_h + t_h² ]

0 m = 5 m – 12,8 m + 16 m/s . t_h – 5 m/s² . t_h²

0 m = – 7,8 m + 16 m/s . t_h – 5 m/s² . t_h²

Ahora sí se distinguen perfectamente los coeficientes cuadrático (a), lineal (b) e independiente (c) de la cuadrática:

a = – 5 m/s² ,     b = 16 m/s     y     c = – 7,8 m

t_h = 0,6 s

Descartamos el otro valor, t'_h = 2,6 s porque, claramente, no es el que buscamos. Ahora, sabiendo cuánto vale t_h, vamos a la ecuación [1] y despejamos v_o...

5 m = v_o . 0,6 s – 5 m/s² . 0,36 s²

Por último vamos a la ecuación [2] y despejamos v_h

v_h = 11,33 m/s – 10 m/s² . 0,6 s

Discusión: apostaría que tanto el 95% de los estudiantes que resolvieron este ejercicio correctamente, como el 80% de los profesores de física que lo resuelven frente a un curso como parte de la práctica, lo hacen de este modo: con la fórmula de caída libre h = ½gΔt averiguan el valor del intervalo de la caída (y les da 1 s). Eso se lo restan al tiempo total del viaje (que les da 0,6 s). Conociendo ese tiempo van a la fórmula de distancia de un MRUV, d = v_o Δt – ½ g Δt², de donde despejan v_o; finalmente, usan la expresión de aceleración, con la que obtienen el valor de la velocidad en la atajada a medias de la hermana.

Ok, llegan al mismo resultado... pero desarrollan una física formulerista*, alejada del concepto fundamental de la función real (en el caso de la cinemática: la ecuación horaria). Por otro lado... qué hay más sencillo para un físico que plantear toda la historia desde un único sistema de referencia. Ya sabemos lo que se pierde el planteo formulerista... pero ¿qué gana? ¿Sencillez algebraica?