Yo sé que parece imposible. Pero si te lo tomás con calma y me seguís el razonamiento, vas a ver que es muy sencillo. Sólo tenés que prestar atención a la mecánica del rodaje, y la geometría te va llevando sola.

Para empezar razoná conmigo que si la llanta rueda sin deslizar entonces ese punto rojo que le dibujé arriba va a tocar el piso a una distancia πR de la vertical donde estaba primero. Pará, lo dije complicado. Probemos así: si los puntos rojos dejaran una marca en el piso, estarían distanciados 2πR (la longitud de la circunferencia de la llanta). ¿Ahora sí?

Entonces sigamos. Mirá, para facilitar las cosas puse un sistema de referencia con el eje vertical hacia abajo, y el cero justo a la altura del punto más alto de la llanta. Y comenzamos a estudiar el movimiento observando un punto (el punto rojo) que se encuentra en esa posición. Para t₀ = 0, y₀ = 0. Y también contamos los giros desde ahí: θ₀ = 0.

La llanta gira a una velocidad angular constante ω, de modo que la ecuación de posición angular será:

θ = ω t

tal como indica el esquema que acompaña al enunciado. De modo que al cabo de un tiempo la llanta habrá girado un ángulo θ, y nosotros nos preguntamos cuánto valdrá la posición x e y del punto rojo. Ahora sí, mirá bien el esquema bonito. Y prestale atención al triangulito que sombreé de amarillo.

Ahí se ve clarito que la posición y_t es igual a 1 radio menos el cateto adyacente a θ del triangulito. O sea:

y_t = R − R cos θ

O lo que es lo mismo:

y_t = R ( 1 − cos θ)

Pero ya habíamos visto a qué era igual θ

y_t = R ( 1 − cos (ω t))

Con eso ya resolvimos la mitad del problema. Vemos qué pasa con x_t.

Pasado un tiempo t desde que el punto rojo estaba requetearriba, la llanta habrá girado un ángulo θ, y el punto rojo se habrá distanciado horizontalmente una distancia x_t. Si la miras atentamente, esa distancia es la suma de lo que avanzó el centro de la llanta más el cateto opuesto a θ en el triangulito amarillo. O sea:

x_t = v t + R sen θ

Pero la velocidad del la rueda no es otra cosa que la velocidad tangencial del punto rojo: v = ω R. Te estarás preguntando por qué. Y yo apenas si te voy a dar una pista: ¿por qué será que este ejercicio aparece junto a los ejercicios de movimiento relativo? Otra pista: ¿que pasaría si la rueda estuviera fija y hiciese deslizar un papel en el piso hacia la izquierda? (como esos rodillos que hacen avanzar el papel en una impresora). ¿A qué velocidad se desplazaría el papel?

Bueno, basta de pistas, seguro que la cazaste. Sigamos entonces:

x_t = ω R t + R sen (ω t)

x_t = R (ω t + sen (ω t))

Llegamos, boló.

Los chabones no se conforman y ahora nos piden las componentes de la velocidad y la aceleración en un punto. Rojo. Si tenemos las ecuaciones de posición podemos encontrar las de velocidad y aceleración simplemente derivando.

DESAFIO: ¿Dónde se usan los cicloides?