Uh... es larguísimo... Te propongo que nos dediquemos exclusivamente a la rueda A, y seguramente todo lo que hagamos con ella podremos hacerlo rodar con la otra. A ver qué tenemos: nos dan la velocidad angular en revoluciones por minuto, pasémosla a radianes por segundo:

ω_A = 120 2π / 60 s = 4π s^-1

Esta es las velocidad angular también cuando comienza a frenar. Ahora pasemos al frenado. Tomemos el instante en que comienza el frenado como t = 0 (nada lo impide). Recordando que la aceleración es el cambio de velocidad dividido el intervalo de tiempo en que la velocidad cambia, tenemos:

γ_A = Δω_A / Δt_A

Y se frena totalmente en 16 segundos:

γ_A = − 4π s^-1/16 s = − 0,25 π s^-2

Ahora podemos integrar esa función para obtener la función velocidad:

ω_A(t) =∫(− 0,25 π s^-2) dt = − 0,25 π s^-2 t + Cω_A

Y como en nuestro instante cero la velocidad era la que calculamos primero:

ω_A(0s) = − 0,25 π s^-2 0 s + Cω_A = 4π s^-1

Cω_A = 4π s^-1

Y con eso ya podemos armar la ecuación de velocidad angular de A en función del tiempo:

ω_A(t) = − 0,25 π s^-2 t + 4π s^-1

Si volvemos a integrar ésta, hallaremos la función posición:

          θ_A(t) =∫(− 0,25 π s^-2 t + 4π s^-1) dt = − 0,125 π s^-2 t² + 4π s^-1 t + Cθ_A

Y como en nuestro instante cero también podemos elegir la posición angular, elegimos arbitrariamente θ_A = 0, podemos calcular la constante de integración Cθ_A:

θ_A(0s) = − 0,125 π s^-2 (0 s)² + 4π s^-10 s + Cθ_A = 0

Cθ_A = 0

Con esto ya podemos escribir la función posición angular para todo t (durante el frenado):

θ_A(t) = − 0,125 π s^-2 t² + 4π s^-1 t

Operando de la misma manera con la rueda B encontraremos las 3 funciones también para ella. Resumamos:

Para conocer el instante, t_w, en que las dos ruedas tienen la misma velocidad angular basta con que igualemos su ecuaciones de velocidad:

4π s^-1 − 0,25 π s^-2 t_w = 8π s^-1 − π s^-2 t_w

4 s^-1 − 0,25 s^-2 t_w = 8 s^-1 − s^-2 t_w

s^-2 t_w − 0,25 s^-2 t_w = 8 s^-1 − 4 s^-1

0,75 s^-2 t_w = 4 s^-1

Para saber en qué instante, t_v, los puntos de la periferia tienen igual velocidad, basta con que igualemos las velocidades tangenciales en el borde. Acordate que v = ω . R, de modo que:

ω_A(t_v) . R_A = ω_B(t_v) . R_B

(4π s^-1 − 0,25 π s^-2 t_v) 20 cm = ( 8π s^-1 − π s^-2 t_v) 40 cm

(4 s^-1 − 0,25 s^-2 t_v) = ( 8 s^-1 − s^-2 t_v) 2

4 s^-1 − 0,25 s^-2 t_v = 16 s^-1 − 2 s^-2 t_v

2 s^-2 t_v − 0,25 s^-2 t_v = 16 s^-1 − 4 s^-1

1,75 s^-2 t_v = 12 s^-1

Pidámosle a la ecuación de posición angular de A que hable del instante t_w = 5,33 s.

θ_A(t_w) = 4π s^-1 . 5,33 s − 0,125 π s^-2 (5,33 s)²

θ_A(t_w) = 17,8 π

Acordate que nuestro θ_A(0s) = 0, de modo que e anterior resultado es el que buscábamos. Hacemos lo mismo con B.

θ_B(t_w) = 8π s^{-1 .} 5,33 s − 0,5 π s^-2 (5,33 s)²

θ_B(t_w) = 28,5 π

DESAFIO: ¿Que condición deben cumplir ambas ruedas para poder estar unidas por una correa?