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   NO ME SALEN
  PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
   Movimiento variado (con análisis matemático)
  

manolito

 

FIS c4.26 - La posición de una partícula está dada por la ecuación:

x(t) = t³ – 6 t² – 20 t – 50,

donde x se expresa en metros y t en segundos.
    a) Calcular el instante en el cual su velocidad se anula.
    b) Calcular la aceleración instantánea en dicho instante. Calcular la aceleración media en el intervalo comprendido entre t = 0 s y t = t(v = 0).
    c) Trazar las gráficas x(t); v(t); y a(t).

OK, ya estamos acostumbrados. Hallemos la segunda y tercera ecuación horarias, para ello basta con derivar sucesivamente la ecuación de posición:

x(t) = t³ – 6 t² – 20 t – 50

v(t) = x'(t) = 3 t² – 12 t – 20

a(t) = x"(t) = 6 t – 12

Para hallar el instante en que la velocidad se anula alcanza con igualar a 0 la segunda ecuación:

0 = 3 t(0m/s)² – 12 t(0m/s) – 20

Es una cuadrática que nos arroja dos resultados t1 = –1,27 y t2 = 5,27

    
  t1 = – 1,27 s y t2 = 5,27 s  
   

Con estos resultados vamos a la ecuación de aceleración:

a1 = 6 . (-1,27) – 12

a2 = 6 . 5,27 – 12

Y le agregamos las unidades correspondientes...

    
  a1 = – 19,6 m/s² ; a2 = 19,6 m/s²  
   

Vamos con la aceleración media. Acordate que:  am = Δv / Δt. Como hay dos instantes en que la velocidad se anula tendremos que evaluar dos aceleraciones medias.

v(0) = 3 . 0² – 12 . 0 – 20 = – 20

v1 = 0

v2 = 0

Entonces tenemos dos variaciones de velocidad:

Δv1,0 = v(0) – v1 = – 20

Δv0,2 = v2 – v(0) = 20

Si lo dividimos cada uno por su intervalo de tiempo:

am1 = – 20 / 1,27

am2 = 20 / 5,27

Y le agregamos las unidades correspondientes...

    
  am1 = – 15,75 m/s²  ;   am2 = 3,80 m/s²  
   
Acá vienen los gráficos:    

Están hechos en tándem. La escala de tiempo es la misma para los tres.

En azul tenés la gráfica de la posición. En rojo la de velocidad (derivada de la de posición). Y en verde la aceleración (derivada de la velocidad).

Fijate que cada derivada se hace cero justo en el instante en que su primitiva alcanza un máximo o un mínimo.

La velocidad se anula en los instantes

   t1 = – 1,27 s
   t2 = 5,27 s

(justo de donde salen las flechas fuxias hacia arriba). Si las prolongás hacia abajo (lo hice en gris) podés ver las aceleraciones en esos instantes:

    a1 = – 19,6 m/s²
    a2 = 19,6 m/s²

Te los marqué con unos circulitos azules.

   
Todavía hay algo muy interesante que podemos mirar en los gráficos. En este caso en el gráfico de aceleración. Pero te lo voy a plantear como desafío.    
     

Desafío: Graficar las aceleraciones medias y tratar de vincularlas con el gráfico de aceleración.

   Ricardo Cabrera
   
Algunos derechos reservados. Se prohibe estrictamente leer este ejercicio resuelto por encima: hay que leerlo despacio y con atención. Las penalizaciones a esta infracción son severísimas. Se permite su reproducción citando la fuente. Agradezco a Hernán Ghianni por el envío de una errata. Última actualización may-16. Buenos Aires, Argentina.