FIS a2.12 - Una masa esférica de hielo se está derritiendo de forma uniforme en toda la superficie, a razón de 50 cm³ por minuto. ¿Con qué velocidad
está disminuyendo el radio de la bola cuando este mide 15 cm?

Si hiciste el anterior, lo masticaste y lo entendiste... entonces este te va a parecer una papa.

El volumen de la esfera depende del radio. La relación es la siguiente: V = 4π/3. r³. (Esto es simple geometría que cuando uno no se acuerda lo pregunta o lo busca en google, o lo mirás en el ejercicio anterior). Como en este ejercicio vamos a trabajar con variaciones de volumen y variaciones de radio, escribamos la relación como una función volumen que depende del radio:

V(r) = 4π/3 . r³

Si derivamos esa función de volumen respecto del radio obtenemos:

dV/dr = 4π r²

Una pequeñísima variación de una magnitud cualquiera recibe el nombre de diferencial. dV es un diferencial de volumen y dr un diferencial de radio. Por pequeños que sean, se pueden manejar algebraicamente como cualquier factor. De modo que podemos pasar multiplicando al segundo miembro el diferencial de radio:

dV = 4π r² dr

Ahora, si dividimos miembro a miembro por un diferencial de tiempo, dt,

dV/dt = 4π r² dr/dt

Resulta que el primer miembro se convierte en la velocidad de derretimiento, que es constante y dato del ejercicio:

Y en el segundo miembro aparece la velocidad de disminución del radio, dr/dt, que podemos despejar:

dr/dt = 50 cm³/min / 4π r²

Como ves, la velocidad de disminución del radio depende del mismo radio. Resulta ser inversa al cuadrado del propio radio. Cuanto más grande es el radio más lentamente disminuye y después va más rápido. Para r = 15 cm

dr/dt = 50 cm³/min / 4π 225 cm²