Calma, no desesperes. Hay cosas mucho peores.
El volumen del globo depende del radio. La relación es la siguiente: V = 4π/3. r³. (Esto es simple geometría que cuando uno no se acuerda lo pregunta o lo busca en google). Como en este ejercicio vamos a trabajar con variaciones de volumen y variaciones de radio, escribamos la relación como una función volumen que depende del radio:
V(r) = 4π/3 . r³
Si derivamos esa función de volumen respecto del radio obtenemos:
dV/dr = 4π r²
Una pequeñísima variación de una magnitud cualquiera recibe el nombre de diferencial. dV es un diferencial de volumen y dr un diferencial de radio. Por pequeños que sean, se pueden manejar algebraicamente como cualquier factor. De modo que podemos pasar multiplicando al segundo miembro el diferencial de radio:
dV = 4π r² dr
Ahora, si dividimos miembro a miembro por un diferencial de tiempo, dt,
dV/dt = 4π r² dr/dt
Resulta que el primer miembro se convierte en la velocidad de llenado del globo, que es constante y dato del ejercicio:
dV/dt = 50 cm³/s
Metámoslo en la igualdad anterior.
50 cm³/s = 4π r² dr/dt
Y en el segundo miembro aparece la velocidad de crecimiento del radio, que podemos despejar:
dr/dt = 50 cm³/s / 4π r²
dr/dt = 4 cm³/s / r²
Como ves, la velocidad de crecimiento del radio depende del mismo radio. Resulta ser inversa al cuadrado del propio radio. Cuanto más pequeño es el globo más rápido crece el radio, y cuanto más grande mucho crece mucho más lentamente. Para r = 5 cm
dr/dt = 4 cm³/s / 25 cm²
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