FIS a2.04 - Para cada una de las siguientes funciones determinar, si existen, má́ximos y mínimos relativos y/o absolutos, en el conjunto [a,b].
    a)    f(x) = x³ + x ,   en [−1; 2]
    b)    f(x) = x³ — x² — 8x + 1 ,    en [−2; 2]
    c)    f(x) = x/(x+1) ,    en R
    d)    f(x) = sen(x) + cos(x) ,    en [0; π/2]

Un máximo o un mínimo relativo de una función es como un vértice de una parábola: su tangente en ese punto tiene pendiente nula. Por lo tanto su derivada en ese punto valdrá 0. De eso se trata este ejercicio, de hallar esos puntos.

Empecemos con la primera:

f(x) = x³ + x

f'(x) = 3x² + 1

Igualemos la derivada a 0 y busquemos qué puntos satisfacen la igualdad:

0 = 3x² + 1

3x² = —1

x² = —1/3

No hay ningún valor de x que satisfaga esa igualdad, eso nos indica que la función primitiva no tiene máximos ni mínimos, ni en el intervalo que nos piden ni en todos los reales.

Vamos con la segunda:

f(x) = x³ — x² — 8x + 1

f'(x) = 3x² — 2x — 8

Igualemos la derivada a 0 y busquemos qué puntos satisfacen la igualdad:

0 = 3x² — 2x — 8

Se satisface para x₁ = -1,33... y para x₂ = 2, y ambos entran en el intervalo pedido. Para saber qué es cada uno, si máximo o mínimo, podemos hallar la derivada segunda de la funcion original y ver si en ese punto adquiere valor positivo o negativo. Exploralo vos.

Vamos con la tercera (qué plomo)...

f(x) = x/(x+1)

f'(x) = 1/ (x+1)²

Igualemos la derivada a 0 y busquemos qué puntos satisfacen la igualdad (decí que existe el CTRL+C y el CTRL+V):

O = 1/ (x+1)²

No hay valor de x que satisfaga la ecuación...

Y la última:

f(x) = sen(x) + cos(x)

f'(x) = cos(x) — cos(x)

Igualemos la derivada a 0 y busquemos qué puntos satisfacen la igualdad:

0 = cos(x) — sen(x)

sen(x) = cos(x)

Que se satisface para todos los x que sean múltipos enteros pares de π/4. Hay uno sólo en el intervalo pedido.