NMS a2.02 - Se cuenta con 1 km de alambrada para armar un corral con forma de rectángulo. ¿Cuánto deben medir sus lados para que el corral tenga la máxima área posible?

Por otro lado la magnitud que queremos maximizar, el área, A, es igual a:

A = a . b

Por si no lo notaste, el área no es constante (como sí lo es el perímetro), es variable. De modo que la expresión anterior podés considerarla una función: la función área, que depende de a y b.

Para hallar las dimensiones del área máxima se procede de la siguiente manera. Primero transformemos la función área para que dependa de una sola variable. De la relación del perímetro despejamos b...

b = ½P — a

Y eso lo metemos en la función del área.

A = a . (½P — a)

A = a½P — a²

Como ves, ahora la función área depende de una sola variable, el lado a. Ahora derivamos esa función, llamémosla A'.

A' = ½P — 2a

Igualamos esta función a cero, y de esa igualdad despejamos a. Ese será el valor del lado a que maximiza el área, lo llamaremos a_M.

0 = ½P — 2a_M

a_M = P/4

Si metemos este resultado en la ecuación del perímetro hallamos que:

b_M = a_M

Resulta que el corral más grande es un cuadrado. El problema es muy sencillo y no es improbable que vos y cualquier chacarero lo pueda resolver correctamente de forma totalmente intuitiva y sin hacer ningún cálculo. Pero hay innumerables problemas de optimización en los cuales la intuición no puede brindarnos ninguna ayuda en cambio el análisis matemático sí.

Mirá la explicación:

¿Te cierra?