La noción de límite es súper sencilla y no tenés que tenerle miedo, pero es tan abstracta que no es sencilla de definir. Yo te voy a dar una definición burda, grosera, matemáticamente reprochable, vergonzosa:

El límite es una aproximación infinita.

No te olvides de que esta definición que te acabo de dar es un secreto entre vos y yo, no andes divulgándola por ahí.

Te doy un ejemplo: aproximate tanto como puedas al número 3. Tu respuesta:

2

No está mal, pero aproximate más, vos podés:

2,7

Más, no tengas miedo:

2,99

Bien, dale más:

2,999976

Perfecto... aproximate más:

2,999999999999999

Excelente, dale un cacho más:

2,9999999999999999999999999999999999

Está claro que esta aproximación es infinita (en el sentido de que podemos seguir aproximándonos indefinidamente sin llegar nunca al valor pedido) , ¿no es cierto? Bien, eso es operar con límites, y este viaje mental que acabamos de realizar se puede representar simbólicamente así:

Y se lee así: límite para x tendiendo a 3 de x. O así: límite de x para x tendiendo a 3.

En la jerga matemática tender significa aproximarse infinitamente, pero sin llegar.

A veces (pero no siempre) podemos resolver los límites. En nuestro ejemplo sí, y es muy sencillo:

O sea, que resolver el límite significa finalmente llegar al valor al cual se tiende.

Me imagino que ya estarás pensando que esto es un pavada atómica. Bueno, sí. Y entonces ¿para qué sirve?

Una de las utilidades (tiene muchas varias) es que nos permite hacer operaciones prohibidas, por ejemplo: dividir por cero (tu calculadora no te lo permite, ¿no es cierto?). Mirá este ejemplo:

Esa operación sí se puede hacer, porque acordate que el límite es la "aproximación infinita". Ya no estás dividiendo por 0 sino que estás dividiendo por 0,001, 0,00001... etcétera. A lo largo de esa aproximación interminable la operación es lícita y tu calculadora te daría la respuesta sin titubear.

Ahora también podríamos resover ese límite... bueno, a medias.

Y digo a medias, porque ∞ (infinito) no es un número, pero al menos es una noción numérica bastante intuitiva (no me hagas que entre en ese laberinto, plis).

Tal vez la importancia fundamental del límite es que permite (a veces) resolver operaciones en los que tanto el numerador como el denominador tienden a cero, sobre todo si tanto el numerador como el denominador están relacionados entre sí por una función. Por ejemplo si quisiéramos resover cuánto vale la función en un valor crítico:

Para cualquier valor distinto de 3 resulta una operación sencilla. Por ejemplo: si quisieras saber cuánto vale la función para x₁= 2 (lo podés hacer mentalmente) el resultado es 5. (f₍₂₎ = 5). Pero si quisieras conocer el valor de la función en el valor crítico, o sea, cuando x₂= 3... ahí estás en problemas... Si lo querés realizar mentalmente obtenés 0/0... y ahí te quiero ver... no sólo la calculadora no te lo hace sino que parece estar indeterminado (esa es la palabra que utilizan los matemáticos).

Ahí es donde la función límte nos brinda una ayuda, y lo resuelve.

¿Y cómo lo hizo? Una posibilidad es no tratar de realizar la operación con el valor 3, sino realizarla varias veces aproximándote a 3 en algunos pasos cada vez más cerca de 3... por ejemplo empezás con 2,6, seguís con 2,9, luego 2,99, después 2,9999... y te vas fijando a qué valor tiende el resultado. Vas a ver que cuanto más te acercás vos al valor 3 más se acerca el resultado al valor 6.

Otro método consiste en operar con la función transformándola en una expresión equivalente que deje de ser inoperable. En nuestro ejemplo, el numerador x² − 9 se puede expresar como (x − 3) . (x + 3)... (quinto caso de factoreo). Y el primer factor se cancela con el denominador... por último cuando x se acerca a 3 ya no trae dificultades.

Esa operatoria se escribiría así:

Fijate que cuando cancelaste los paréntesis (x − 3) no estás dividiendo 0/0, porque como estás dentro del operador lím esos paréntesis no valen 0 sino casi cero... que por pequeño que sea el paréntesis, se trata de un número que tiene todos los derechos ciudadanos de los demás, como cualquier otro.

Y hay más métodos para resolver los límites... pero esencialmente es ésto.

Diferenciales. Mirá este límite:

Esa resta, (x - x_o), que también podríamos simbolizar así: Δx, tiende a cero. Como es muy importante se le da nombre propio: diferencial, o infinitésimo (cuando yo estudiaba los llamábamos pendejésimo), y solemos identificarlos con la letra d o ∂.

Podemos simbolizarlo así:

El diferencial no deja de ser una parte muuuuy chiquitita de x, nada más que eso... no tiene ninguna magia ni costado esotérico. No tenés que tenerle miedo. Si x es una salchicha, dx es una partecita muy chiquitita de la salchicha.

Tenés que tener en cuenta que cuando operás con un diferencial estás operando con un límite. El diferencial tiende a cero.... pero no vale cero. Osea la multiplicación por un diferencial no vale cero y si dividís por un diferencial no vas a ir preso.

• Los matemáticos tienen una definición (matemática) de límite. A menos que vayas a estudiar matemática no creo que te interese mucho, pero acá está:
  

• La operación con límites es la base del calculo infinitesimal, o cálculo diferencial, o sencillamente cálculo.
• Uno de los límites más importantes para la física es el límite tendiendo a cero del cociente incremental de una función, también llamado: derivada.
• Los límites tienen su propia álgebra. Tampoco debés temerle ya que es sumamente fácil e intuitiva (al menos para las cuatro operaciones básicas).