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Funciones - Trigonometría

TEOREMA DEL COSENO - Demostración

El teorema del coseno es algo así como una extensión del Teorema de Pitágoras (que sólo es plicable a triángulos rectángulos) a triángulos cualesquiera; de hecho, también es conocido con el nombre de Teorema de Pitágoras Generalizado.

Supongamos un triángulo cualquiera de vértices:

A, B y C.

Los ángulos correspondientes a cada vértice son:

α, β y γ.

Y los lados (opuestos a cada vértice):

a, b y c.

El teorema dice:

a² = b² + c² - b . c . cos α

DEMOSTRACIÓN: La demostración original se atribuye a Euclides, aunque recién alcanza su forma actual con la trigonometria de la Edad Media.

Tracemos una de las alturas del triángulo, h_c. Entonces el triángulo original queda dividido en dos triángulos rectángulos (no te olvides que las alturas son ortogonales al lado correspondiente).

Entonces, en el triángulo sombreado de violeta:

a² = (c-x)² + h_c²

Y en el triángulo coloreado de amarillo:

b² = x² + h_c²

En la primera expresión desarrollamos el cuadrado del binomio:

a² = c² - 2cx + x² + h_c²

Y de la segunda despejamos h_c²:

h_c² = b² - x²

Eso lo metemos en la anterior:

a² = c² - 2cx + x² + b² - x²

x² aparece sumando y restando, de modo que los tiramos a la basura y reordenamos:

a² = b² + c² - 2cx

Ahora volvemos a mirar el triangulito amarillo y nos convencemos de que:

x = b cos α

Reemplazamos esto en la última, con lo que llegamos a nuestro teorema:

a² = b² + c² - 2 b c cos α

Como los lados del triángulo son lados cualesquiera, podemos formular el teorema de esta manera: el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de esos dos lados por el coseno del ángulo opuesto.

Tenés otra demostración más, y diferente, en el capítulo de vectores, acá.