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   NO ME SALEN
   (APUNTES TEÓRICOS Y EJERCICIOS DE BIOFÍSICA DEL CBC)
   CALOR Y TERMODINÁMICA

 

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EM Problema 14 - En la figura, los círculos representan seis máquinas cíclicas, que operan entre dos fuentes de temperaturas 800 K y 400 K. Las flechas verticales representan intercambios de calor con las fuentes; las horizontales, de trabajo con el exterior de las máquinas. Sólo una de ellas es posible, debido a que no viola ninguno de los principios termodinámicos. ¿Cuál es?
 

Los voy a hacer de a uno, y en el orden en que están presentados en la guía. Es cierto que hay formas y caminos más expeditivos. Pero yo, loco... soy un profesional.

   

En todos los casos, la supuestas máquinas trabajan entre temperaturas de T1 = 800 K para la fuente caliente y T2 = 400 K para la fuente fría.

La verificación de que no viola el primer principio se hace a ojo. De todos modos te lo explico. Hay que situarse en el punto de vista de la máquina (simbolizada por el círculo gris del medio), de modo que el calor que recibe, Q1, es positivo y el calor que cede, Q2, negativo. El trabajo, L, que realiza sobre el medio será positivo.

Como todas las máquinas trabajan cíclicamente, a temperatura constante, la variación de energía interna (una función de estado) es nula, ΔUM = 0.

 
Ojo: los subíndices 1 y 2 son arbitrarios y no hay consenso sobre su uso para la fuente caliente o fría.

Luego, la verificación del cumplimiento del primer principio consistirá en verificar que:

Q1 – Q2 = L

Para comprobar si se cumple con el segundo principio, hay que verificar que la variación de entropía del universo sea mayor que cero (a lo sumo igual a cero), o sea ΔSU > 0. Y para ello hay que sumar las variaciones de entropía de la fuente caliente (ΔS1), la máquina (ΔSM) y la fuente fría (ΔS2). Por ser una función de estado, la variación de entropía de las máquinas será siempre nula, ΔSM = 0. Para calcular las variaciones de entropía de las fuentes hay que situarse en el punto de vista de las fuentes, de modo que el calor Q1 será negativo (ya que ese calor sale de la fuente), y Q2 positivo (porque lo recibe).

Luego, la verificación del cumplimiento del segundo principio consistirá en verificar que:

ΔS2 + ΔS1 > 0

Para la máquina a) queda así:

    

Q1 – Q2 = L

100 J – 10 J = 90 J

Se cumple el primer principio. Veamos el segundo:

ΔSU = ΔS2 + ΔS1
  ΔSU = 10 J – 100 J  
400 K 800 K

ΔSU = – 0,1 (J/K)

No se cumple el segundo principio.
   
Veamos la máquina b).    

Q1 – Q2 = L

100 J – 100 J = 0 J

No se cumple el primer principio. Veamos el segundo:

ΔSU = ΔS2 + ΔS1
  ΔSU = 100 J – 100 J  
400 K 800 K

ΔSU = 0,125 (J/K)

Se cumple el segundo principio, pero ya es tarde.

   

Lo siento, con que uno de los principios no se cumpla, la máquina ésa no puede existir. Vamos a la máquina c).

   

Q1 – Q2 = L

100 J – 0 J = 100 J

Se cumple el primer principio. Veamos el segundo:

ΔSU = ΔS2 + ΔS1
  ΔSU = 0 J – 100 J  
400 K 800 K

ΔSU = – 0,125 (J/K)

No se cumple el segundo principio, qué lástima.

   
Esa máquina era ideal, tenía un rendimiento del 100%... me llenaba de guita... Bueno, veamos si tenemos más suerte con la máquina d).    

Q1 – Q2 = L

100 J + 10 J = 110 J

No se cumple el primer principio. Veamos el segundo:

ΔSU = ΔS2 + ΔS1
  ΔSU = – 10 J – 100 J  
400 K 800 K

ΔSU = – 0,15 (J/K)

No se cumple el segundo principio.
   
Esta máquina sí que no me daba nada de pena. No sólo no servía para nada sino que era un sumidero de energía. Un agujero negro. A ver la e)...    

Q1 – Q2 = L

100 J – 60 J = 40 J

No se cumple el primer principio. Veamos el segundo:

ΔSU = ΔS2 + ΔS1
  ΔSU = 60 J – 100 J  
400 K 800 K

ΔSU = 0,025 (J/K)

Se cumple el segundo principio, qué lástima.

   
Si, una lástima... no era una mala máquina... pero hay 10 joules por ahí extraviados que no se sabe dónde van a parar. Nos queda la máquina f).    

Q1 – Q2 = L

100 J – 80 J = 20 J

Se cumple el primer principio. Veamos el segundo:

ΔSU = ΔS2 + ΔS1
  ΔSU = 80 J – 100 J  
400 K 800 K

ΔSU = 0,075 (J/K)

Se cumple el segundo principio. Bingo.

   
Esta sí... ¡¡es una máquina!!    
Desafío: ¿Qué rendimiento tiene esta máquina? ¿Cuál sería el máximo rendimiento de una máquina que trabajase entre estas dos temperaturas y extrajese 100 J de la caldera?  
 
 

Algunos derechos reservados. Se permite su reproducción citando la fuente. Agradezco a Nicolás Asprela por el envío de una errata. Última actualización ago-08. Buenos Aires, Argentina.