NO ME SALEN
EJERCICIOS RESUELTOS Y APUNTES DE FÍSICA Y BIOFÍSICA DEL CBC

Teorema de Pitágoras

Acá va la segunda demostración. Es bastante parecida a la primera.

Habíamos quedado que don Pitágoras dijo que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

a² + b² = c²

 

manolito

Donde a y b son las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa.

A los vértices opuestos a cada lado se les suele asignar el mismo nombre, pero en mayúscula.

Y al ángulo (interno) correspondiente, el mismo nombre que el vértice pero en su correspondiente del alfabeto griego. En nuestro caso α, β y γ.

 

γ (gamma) es el ángulo recto (90°) de nuestro ejemplo.

¿Sabías que los griegos dibujaban los triángulos rectángulos en esa posición, con su hipotenusa horizontal y abajo? De hecho, la palabra hipotenusa significa algo así como lado de abajo.

 

Bien. Acá arranca nuestra domostración:

Coloquemos nuestro triángulo dentro de un cuadrado de lado c. Que calce justito.

 

 

Ahora fijate lo siguiente: en ese cuadrado caben otros 3 triángulos iguales al primero. Acá los tenés:

 

Si no lo hubieses visto antes te habrías sorprendido, ¿no?

Pero lo más interesante es que en el centro nos quedó formado un cuadradito (sus cuatro lados son iguales y los cuantro ángulos son rectos).

Y los lados del cuadradito valen... ¡(b—a)!

Si todo esto no te convence, tendrás que aplicar, como en la demostración anterior, la propiedad de la suma de los ángulos interiores de los triángulos.

 

Bien, aceptado que el dibujo que nos quedó formado con los cuatro triángulos rectángulos idénticos es el que acordamos, entonces, el área de ese cuadrado grandote (el externo) es lado por lado, o sea: .

Pero también podemos expresar ese área como la suma de las áreas de los cuatro triángulos idénticos, más, el cuadradito interior de lado (b—a).

El área de un triángulo -espero que lo recuerdes- es un medio de la base por la altura. En nuestros triángulos, si tomás el cateto a como base, la altura no es otro que b. Y si tomás a b como base, la altura no es otro que a. De modo que el área de cada triángulo vale ½ab.

Resumiendo:

4 ½ab + (b—a)² =

Ahora un poquito de álgebra...

2ab + 2ab + a² =

Cancelamos los términos iguales y listo.

 
  a² + b² = c²  
 
   
Si querés ver la tercera demostración andá acá.  

¿Sabías? El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".

Ricardo Cabrera
Algunos derechos reservados. Se permite su reproducción citando la fuente. Última actualización dic-14. Buenos Aires, Argentina.