Nota: Este ejercicio formó parte del examen de Física tomado el 28 de junio de 2011.
Se trata de un ejercicio clásico, recontra-clásico. Aparece en 4 de cada 3 exámenes. Si no lo hacés bien (o sea: detenidamente, disfrutándolo, entendiendo cada paso), lo rehacés sin ayuda, hacés el desfío... después no te quejes.
En el experimento hay dos momentos importantes: cuando el cuerpo se suelta y cuando se detiene comprimiendo al resorte. Vamos a llamar a esos dos intantes inicial y final (0 y F). No hay fuerzas no-conservativas actuando durante el proceso (no hay rozamiento, no hay tracciones). Es cierto que el enunciado no lo dice expresamente, pero la suposición contraria haría de este un ejercicio sin sentido, e irresoluble... entonces, la energía mecánica final es igual a la energía mecánica inicial.
EMF = EM0
La enería mecánica final es puramente elástica: si tomamos el cero de alturas en esa posición y recordamos que en ese instante es cuando el cuerpo se detiene. Y la energía mecánica inicial es puramente gravitatoria: ahí no hay elástico actuando ni el cuerpo tiene velocidad. Entonces:
½ k d² = m g h
Lo mismo ocurrirá en el segundo experimento. Para diferenciar este segundo experimento del primero vamos a agregarle una comilla a la altura, y también a la distancia que se comprime el resorte (esta es la incógnita del ejercicio).
½ k d'² = m g h'
Pero según cuenta el enunciado, la nueva altura es el doble que la primera (h' = 2h).
½ k d'² = m g 2h
Dejame que lo escriba de este modo por si hay algún lector que no recuerde que el orden de los factores no altera el producto:
½ k d'² = 2 (m g h)
Lo que dejé entre paréntesis es exactamente lo mismo que escribí en la segunda ecuación, que describía el primer experimento. Lo reemplazo:
½ k d'² = 2 (½ k d²)
Saco los paréntesis y cancelo los factores que se repiten en ambos miembros:
½ k d'² = 2 ½ k d²
d'² = 2 d²
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