NO ME SALEN
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
(Leyes de conservación, energía mecánica)

 

2.26- Un péndulo cónico está formado por una cuerda de longitud L y un cuerpo de masa m, que describe una trayectoria circular horizontal de radio r, formando un ángulo α constante entre la cuerda y la vertical que pasa por el punto de suspensión. La resistencia del aire y otros rozamientos son despreciables y la energía potencial se mide con respecto al punto de suspensión. ¿Cuál opción es la verdadera?
a) La energía cinética es directamente proporcional al ángulo α.
b) La energía potencial del cuerpo no depende del ángulo α.
c) La energía cinética depende del valor de la aceleración de la gravedad.
d) La energía cinética no depende del valor de la longitud L.
e) La energía cinética no depende del valor de la masa m.
f) El trabajo de la tensión sobre la cuerda es distinto de 0.

Imposible hacer nada de nada de nada sobre este ejercicio si no tenés una idea clara y precisa de lo que es un péndulo cónico. Acá te esquematicé uno e indiqué todos los elementos que vamos a usar.

   

Acá lo tenés. Se trata de un cuerpo cualquiera (yo puse una esferita) de masa m, colgando de un punto fijo de sustentación, S, que se mueve sobre una circunferencia con rapidez constante, v. Se trata entonces de un MCU.

El centro de la circunferencia, O, se halla justo bajo la vertical que pasa por S.

   

El largo del hilo, L es constante y lo mismo el ángulo, α, que el hilo forma con la vertical. Se llama péndulo cónico porque al girar el hilo describe un cono.

Bueno, ahora sí, vamos con todas esas paparruchadas a ver si encontramos alguna verdadera.

a) La energía cinética es directamente proporcional al ángulo α. No me cabe duda de que si aumenta α debe aumentar la velocidad del cuerpo y por lo tanto su energía cinética. Pero es muy difícil que esa relación sea directamente proporcional (por ejemplo si se duplica el ángulo se duplica la energía). Yo la descartaría de plano y pasaría a la proposición b). Pero si necesitás algo más exquisito... veamos:

Ec = ½ m v²

El ½ es una constante (desde que yo nací vale lo mismo: 0,5) así que no nos metamos con eso que seguro que no depende de α. Con la masa ocurre lo mismo, no podés pretender que varíe con el ángulo. Pero la velocidad... Avancemos:

   

Acá te dibujé el DCL del cuerpito justo en la posición extrema izquierda de su giro (es lo mismo en todos lados, pero lo representé ahí para no confundirte con una perspectiva).

Las dos únicas fuerzas que actúan sobre la masa son: su peso, P, y la fuerza que hace el hilo, T. Si descomponemos la fuerza T en sus proyecciones vertical y radial, verás que la componente vertical debe valer siempre lo mismo ya que es la que equilibra al peso, que es constante. Por lo tanto, cuanto mayor sea α mayor será la componente radial de T.

Y según la segunda Ley de Newton:

Tr = m ac = m v² / r

Recapitulemos: al aumentar α, aumenta Tr. Al aumentar Tr, aumenta la aceleración centrípeta, ac, o sea, aumenta v² / r. Y como r es constante lo que está aumentando es v². Y si aumenta v² es que está aumentando la energía cinética.

 
α vuelve a aparecer entre T y Tv, ya que son ángulos correspon-dientes entre paralelas (las verticales son paralelas).

 

acordate que

ac = v² / r

Si tuviera que llevar todo este razonamiento a una única ecuación...

Ec = ½ m v² = ½ m ac r = ½ r Tr = ½ r T sen α

Dejemos eso ahí, por el momento. Resulta que T y r también varían con α, y podrían estar enmascarando el resultado, de modo que voy a tratar de sacarlos de la ecuación y ponerlos -también- en función de α.

Tv = m g

T cos α = m g

T = m g / cos α

Eso es para T. Vamos con r que es más sencillo:

r = L sen α

Ahora meto todo en la expresión de energía cinética que dejé esperando...

Ec = ½ L m g sen α tg α

Lo que confirma nuestras sospechas iniciales: FALSA. Pasemos a la segunda.

b) La energía potencial del cuerpo no depende del ángulo α. Esta es sencilla: la energía potencial es constante para cada ángulo de apartamiento con la vertical, α. Pero es obvio que a mayor α -por decirlo de alguna manera- más cerca del techo va a estar girando. Acordate que el cero de alturas está en el punto de suspensión, S, y no en el plano de giro.

Ep = m g h = m g SO = m g L cos α

O sea que sí depende de α y la formulación es FALSA. Pasemos a la siguiente.

c) La energía cinética depende del valor de la aceleración de la gravedad. Quizás la menos obvia de todas... mirá la expresión de energía cinética que derivamos en la pregunta a):

Ec = ½ L m g sen α tg α

Ahí se ve claramente que no sólo depende de g sino que se trata de una relación directamente proporcional. O sea que si en la Luna la gravedad tiene un valor de 1/6 de la de la Tierra, el mismo péndulo puesto a girar allá y con el mismo ángulo de apartamiento, tendrá una energía cinética igual a 1/6 de la que tendría acá.

Busquémosle una explicación coloquial, no algebraica. Si hay más gravedad, el cuerpo debe pesar más y la fuerza que hace el hilo debe ser mayor... luego, la componente radial del hilo también tendrá que ser mayor... su ruta. O sea... VERDADERA (ni te lo imaginabas).

d) La energía cinética no depende del valor de la longitud L. Ya me cansé. Mirá la misma expresión de antes y no preguntes. FALSA.

e) La energía cinética no depende del valor de la masa m. Esto ya es un hartazgo. FALSA.

f) El trabajo de la tensión sobre la cuerda es distinto de 0. Esta, por lo menos, es distinta a las anteriores. Y es sencilla. A veces los físicos se resisten a demostrar cosas recontra-súper-archi-obvias... y a mí me pasa lo mismo. Pero fijate que el hilo siempre está perpendicular al desplazamiento del cuerpo. Si así no fuera debería estirarse o contraerse... pero ya no sería de longitud constante como indica el enunciado. Y como T tiene exactamente la dirección del hilo en cada instante, y forma un ángulo de 90º permanentemente con el desplazamiento, su trabajo vale 0. FALSA.

 
OBSERVACION: sen α tg α = sen² α / cos α = sen α . sen α / cos α    
    Ricardo Cabrera
DESAFIO: Calcular la energía mecánica de un péndulo cónico como el de este ejercicio en el que vos le inventes los valores constantes del ejercicio, para tres ángulos diferentes cualesquiera.  
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