DEMOSTRACION PROVISORIA del
TEOREMA del TRABAJO Y LA ENERGIA o
TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS

En este apartado voy a presentar una derivación algebraica que parte de la 2da. Ley de la Dinámica y desemboca en el Teorema de las Fuerzas Vivas.

Res = m . a

Tomemos el ejemplo de un cuerpo que en un instante O tiene una velocidad v_O, y sobre él actúa un conjunto de fuerzas de resultante no nula, de modo que se desplaza con una aceleración distinta de cero, y en un instante posterior, F, lo encontramos con otra velocidad, v_F...

Si multiplicamos la 2da. Ley en ambos miembros por el desplazamiento, Δx,

Res . Δx = m . a . Δx

en el primero aparece el trabajo de la resultante, y en el segundo vamos a reemplazar la aceleración y el desplazamiento por sus iguales según el tipo de movimiento que resulta de aplicar una fuerza constante, o sea un MRUV.

W_Res = m . (Δv/Δt) . (v_O Δt + ½ a Δt²)

Vuelve a aparecer la aceleración... pero yo la vuelvo a reemplazar (ojo que Δt del denominador se cancela con uno de los Δt del numerador)

W_Res = m . (Δv/Δt) . (v_O Δt + ½ Δv Δt)

Distribuyo el primer paréntesis en el segundo:

W_Res = m . (v_O Δv + ½ Δv²)

Ahora a Δv lo expreso como (v_F — v_O) y luego opero:

W_Res = m . [v_O (v_F — v_O) + ½ (v_F — v_O)²]

W_Res = m . [v_O v_F — v_O² + ½ (v_F² — 2 v_O v_F + v_O²)]

W_Res = m . (v_O v_F — v_O² + ½ v_F² — v_O v_F + ½ v_O²)

W_Res = m . (— v_O² + ½ v_F² + ½ v_O²)

No te alejes de mí, mirá que es fácil perderse.

W_Res = m . (½ v_F² — ½ v_O²)

W_Res = ½ m v_F² — ½ m v_O²

W_Res = E_cF — E_cO

Objeciones: Si bien el desarrollo algebraico es impecable las condiciones de partida no justifican una generalización del teorema. El ejemplo de partida es muy particular: la fuerza resultante apunta en la misma dirección y sentido que el desplazamiento, y además debe ser constante, ambas cosas que no siempre ocurren. Una demostración general y válida para cualquier cisrcunstancia debe apelar necesariamente al análisis matemático, el cálculo integral y al álgebra vectorial. Pero no te preocupes... ¡se llega al mismo resultado!

CHISMES IMPORTANTES:

• Vis viva. La vis viva (violencia o fuerza viva) fue definida por el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) como el duplo de lo que ahora llamamos energía cinética. Esto es, dada una partícula de masa, m, que se esta moviendo con una velocidad v, la vis viva o fuerza viva asociada al movimento de la partícula es mv².

  El nombre de fuerza viva se conserva por razones históricas. Fue asignado por Leibniz a aquellas fuerzas que producen movimiento; en contraposición a las que él llamaba fuerzas muertas, que no dan lugar a movimiento alguno (ejemplo, el peso de un cuerpo situado sobre una mesa horizontal).

  El término ½mv², que reconoceremos como la mitad de la vis viva, aparece tan a menudo en las expresiones de la Física que, desde hace ya más de un siglo, se estimó conveniente considerarlo como una magnitud física importante, a la que se le dio el nombre de energía cinética. (Fuente: Wikipedia).
  

PREGUNTAS CAPCIOSAS:

• Hay una tercera objeción que hacerle a este desarrollo y también tiene que ver con las condiciones de partida, ¿cuál es?