NO ME SALEN
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
(Leyes de Newton, gravitación)
 

¡no me salen!

NMS 4.30* - El GPS funciona mediante una red de satélites en órbita circular alrededor de la Tierra a 20.200 km de altura respecto de su superficie, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la Tierra. En base a datos terrestres (RT = 6400 km, MT = 6 x1024 kg) y considerando la constante de gravitación universal G = 6,67 x10-11 Nm²/kg²:
    a) Calcule el período de uno de los satélites.
    b) Determine la intensidad de la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra sobre uno de los satélites cuando está en órbita, suponiendo que su masa es de 750 kg.

 

* Este ejercicio formó parte del segundo examen parcial tomado en noviembre de 2019.

Este ejercicio es muy bonito sobre todo porque te pone al tanto de que el GPS de tu teléfono funciona gracias a que el móvil se comunica con los satélites que surcan el espacio arriba de tu cabeza.  Se mueven bastante rápido: aparecen en el horizonte y unas horas después desaparecen del otro lado. Pero están diseñados para que siempre haya al menos tres arriba tuyo para que entre los tres puedan triangular tu posición y decidir exactamente (más menos 10 metros) dónde estás parado.

El período de rotación alrededor de la Tierra se puede conocer a partir de los datos aportados por el enunciado, fijate:

La segunda ley de Newton afirma que la fuerza gravitatoria sobre cada satélite (que es la única fuerza que actúa sobre ellos) es igual al producto de su masa por su aceleración (voy a usar la expresión de aceleración que contiene al período, T).

   
  FG =   ms 4 π² Ro        

T²

Donde FG es la fuerza gravitatoria sobre el satélite selenestacionario, ms es su masa, Ro es el radio de su órbita y T el período de su giro.

Uno de los errores más habituales en este planteo consistió en no advertir que el radio de órbita es la suma del radio terrestre más la altura de la órbita.

Ro = RT + h

Ro = 6.400.000 m + 20.200.000 m

Ro = 26.600.000 m

Por otro lado, la Ley de Gravitación Universal indica que esa fuerza gravitatoria es proporcional al producto de las masas que se atraen e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de masa, o sea, el mismo Ro:

  FG =   G MT ms        

Ro²

Donde MT es la masa de la Tierra, que vale: MT = 6 x1024 kg y G = 6,67 x10-11 Nm²/kg² la constante de gravitación universal.

Si igualamos ambas ecuaciones nos queda:

  ms 4 π² Ro = G MT ms        


T² Ro²
   

Reordenamos y cancelamos la masa del satélite:

   
  T² = Ro³ 4 π²        

G . MT
   
Tenés mi permiso para llamar a eso Tercera Ley de Kepler (no es exactamente así, pero casi). Hacemos los cálculos:    
  T² =   (2,66 x107m)³ . 4 π²        

6,67 x10-11 Nm²/kg² . 6 x1024 kg
   
  T = 43.088 s (unas 12 horas)
   

El posicionamiento de los satélites arriba tuyo y el instante en que ocupan cada posición debe ser tan precisa (para que el geo-posicionamiento satelital, GPS, funcione) que permanentemente deben hacer correcciones con relojes ultraprecisos (relojes atómicos) y hasta correcciones relativistas (la relatividad enseña que el tiempo no transcurre igualmente para cualquier observador según su estado de velocidad relativa). La cuestión es que el sistema funciona correctamente y es un contento.

Vamos a la segunda pregunta que es mucho más sencilla. La intensidad de la fuerza gravitatoria nos la da cualquiera de la dos fórmulas que utilizamos aquí: la ey de la masa y la ley de gravitación universal. Prefiero utilizar la segunda que no requiere del período, ya que si erramos en la cuenta anterior, erraremos en el siguiente, lo estaremos propagando.

   
  FG =   G MT ms        

Ro²
   
Hacemos la cuentas con la suposición de que la masa del satélite es de 750 kg y calculamos:    
  FG =   6,67 x10-11 Nm²/kg² . 6 x1024 kg . 750 kg        

(2,66 x107m)²
   
  FG = 424 N  
   

Lógicamente, un valor inferior al que tendría en la superficie de la Tierra.

Hoy por hoy, noviembre de 2019, hay tres sitemas GPS funcionando en el planeta. Cada uno posee unos doce satélites y se necesitan todos activos para el normal funcionamiento. Y como reemplazar un satélite es una empresa de meses, los tres tienen uno o dos satélites de repuesto también orbitando.

   

DESAFIO: El servicio GPS ¿es gratuito?

 
 
Algunos derechos reservados. Tenga siempre presente el dicho: chi e mai, chocorito sama. Última actualización nov-19. Buenos Aires, Argentina.