DINAMICA, dN4.17, fisica online, ejercicios resueltos

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NO ME SALEN
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
(Gravitación)

¡no me salen!

NMS 4.17 * - A una altura R de la superficie de un planeta de masa M_P y de radio R, orbita un satélite artificial de masa m_S, describiendo una trayectoria circular con velocidad de módulo constante v. Si otro satélite de masa 2m_S orbita con M.C.U. con velocidad de módulo v'= v/2, su altura respecto a la superficie del planeta es de:
a) 3 R b) R / 2 c) 6 R d) 8 R e) 7 R f) R / 4

* Este ejercicio formó parte del 2do. examen parcial de Física del CBC tomado el 17 de junio de 2014. Para ver el tema de examen completo hacer click acá.

Ok, empecemos por un esquema y los DCL.

El enunciado de este ejercicio contiene una desprolijidad que molestó a más de un estudiante: llama R a las alturas de los satélites respecto a la superficie del planeta. Esa letra, R, llama a confusión: más de uno interpretó que R era el radio de giro o radio de órbita, cuando no lo es. Lo correcto es que el enunciado hubiese llamado a esa altura H, o cualquier otra letra, pero no R.

Estoy convencido que el docente que ideó el ejercicio no lo hizo adrede ni con mala intención (los conozco). En todo caso, nos advierte que debemos ser muy cuidadosos cuando leemos los enunciados.

Vamos a la resolución. Para el primer satélite podemos igualar la fuerza gravitatoria a la que está sometido, con la segunda ley de la dinámica:

G M_P. m_S / (2R)² = m_S . a_S

Donde G es la Constante de Gravitación Universal, 2R es el radio de órbita del satélite y a_S su aceleración centrípeta. Cancelamos la masa y expresamos la aceleración como su equivalente en función de su velocidad.

G M_P/ (2R)² = v²/ 2R

Despejando:

G M_P= v². 2R

Si hacemos lo mismo para el otro satélite llegaremos a que:

G M_P= v'². r_2S

Donde r_2S será el radio de órbita del segundo satélite. Igualemos los segundos miembros de las dos expresiones:

v². 2R = v'². r_2S

Ahora recordemos que la velocidad del segundo satélite es igual a la mitad del primero:

2 v' = v

Entonces, si elevamos esa expresión al cuadrado:

4 v'² = v²

Metamos eso en la relación anterior:

4 v'² . 2R = v'². r_2S

Cancelemos la velocidad al cuadrado...

8 R = r_2S

Por lo tanto la altura del segundo satélite, H_2S, será:

H_2S = r_2S — R

H_2S = 8 R — R

H_2S = 7 R

e) es verdadera

Tal vez la mejor lección sea ésta: no trates de resolver un ejercicio complicado sin hacerte un buen esquema.

DESAFIO: Si el segundo satélite tuviese una masa triple en lugar de doble ¿cuál sería su altura de órbita?