NO ME SALEN
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
(Gravitación)

 

¡no me salen!

NMS 4.15 * - Dos satélites de masas MA y MB tienen órbitas circulares alrededor de un planeta (tanto MA como MB son mucho menores que la masa del planeta) tal que sus radios al centro del mismo son RA y RB respectivamente. Se verifica que RA = 2 RB y que MA = MB / 2. Si llamamos FA y FB al módulo de las fuerzas gravitatorias que el planeta ejerce sobre cada uno de los satélites, y VA y VB a las velocidades tangenciales de ambos ¿cuál de las afirmaciones es correcta?

a) El período del satélite A es el doble que el de B, y FA = FB/6.
b) La aceleración centrípeta de A es la cuarta parte de la de B, y FA = FB/8.
c) El período del satélite A es la mitad que el de B, y FA = FB/2.
d) VA es ocho veces VB y FA = FB/2.
e) El período del satélite A es igual al de B, y FA = FB/8.
f) La aceleración centrípeta de A es igual a la de B, y FA = FB/4.

* Este ejercicio formó parte del examen final de Física del CBC tomado el 22 de julio de 2011 y dejó un tendal de fracasos descomunal. Para ver el tema de examen completo hacer click acá.

Qué lindo... otro ejercicio de tipo gastronómico. Es un poco largo y hasta tedioso... pero no tiene trampas ni dobleces, ni cosas difíciles de interpretar. Empecemos por los DCL.

Los puntitos rojos son los satélites. Son rojos porque son satélites espías rusos. Las flechitas verdes representan las fuerzas de atracción gravitatoria sobre cada satélite.

Lo importante para resolver el ejercicio son las relaciones que indica el enunciado (las voy a llamar relaciones de tamaño):

MA = MB / 2

RA = 2 RB

Y con eso alcanza.

   

Empecemos con las fuerzas gravitatorias:

FA = G MP MA /RA²

FB = G MP MB /RB²

Donde MP es la masa del planeta. En la primera reemplazo las relaciones de tamaño:

FA = G MP (MB/2)/(2 RB)²

FA = G MP MB /RB²

FA = FB         ✔

Mirá, con eso solo ya descartamos 4 de las 6 opciones... pero sigamos con las otras variables como si nada. Vamos a la aceleración centrípeta. Igualo la fuerza gravitatoria con la 2da. Ley de Newton, para cada satélite.

G MP MA /RA² = MA . aA

G MP MB /RB² = MB . aB

Las escribo de nuevo cancelando las masas de los satélites:

G MP /RA² = aA

G MP /RB² = aB

En la primera reemplazo las relaciones de tamaño:

G MP /(2 RB)² = aA

¼ G MP /RB² = aA

¼ aB = aA         ✔

Vamos con las velocidades tangenciales:

VA² = aA RA

VB² = aB RB

En la primera reemplazo las relaciones de tamaño (agregamos la relación de aceleraciones):

VA² = ¼ aB 2 RB

VA² = ½ VB²

VA = 0,707 VB         ✔

¿A ver los períodos?

TA = 2π RA / VA

TB = 2π RB / VB    

En la primera reemplazo las relaciones de tamaño (agregamos la relación de velocidades tangenciales):

TA = 2π (2 RB) / (0,707 VB)

TA = 2,82 . 2π RB / VB

TA = 2,82 . TB         ✔

Suficiente.

   
  La aceleración centrípeta de A es la cuarta parte de la de B, y FA = FB/8 opción b)
   
     
DESAFIO: ¿Te podrías fijar si los satélites cumplen con la 3era. Ley de kepler?  
Algunos derechos reservados. Se permite tu reproducción recitando en la fuente. Última actualización ene-14. Buenos Aires, Argentina.