El primer problema con que nos enfrentamos en este ejercicio es el siguiente: muchas veces se ha planteado en un examen, en forma idéntica o parecida, pero sin esquema. Y ocurre que un alto porcentaje de estudiantes no sabe lo que quiere decir la palabra horizontal. ¡No te rías! ¡A vos también te puede pasar! Y si vos la tenés clara, tal vez a algún compañero de estudios tuyo le pase, ¡y se lo tenés que aclarar respetuosamente!

Aunque vos que sos un genio no lo creas a un alto porcentaje de estudiantes le pedís que dibuje una fuerza horizontal y la dibujan ¡paralela al plano inclinado! O le pedís que dibuje una fuerza vertical y la dibuja perpendicular al plano, o le solicitás que dibuje la fuerza peso de un cuerpo apoyado en un plano inclinado y la dibujan con una inclinación intermedia entre la vertical y la perpendicular al plano.

Incluso hay quien intuye una extraña sinonimia entre "eje x" y "horizontal" y entre "eje y" y " vertical". Los sistemas de referencia tienen inclinaciones cualesquiera y son siempre arbitrarios. En cambio los conceptos de horizontal y vertical son absolutos y obligatorios para todos los vecinos de tu barrio.

"Mi amor —debes explicarle a tu compañero de estudios confundido— horizontal es algo paralelo al horizonte. Si no podés ver el horizonte de la pampa para encontrar la referencia adecuada, pues imagina una copita de agua, y préstale atención a la superficie líguida (suele ser horizontal mientras no agites la copa). Dulcecito mío, —añade con ternura— la vertical es la dirección paralela a la soguita de la plomada del albañil que vino el otro día a casa a revocar la pared de la pieza, ¿te acordás?, la que tenía la mancha de humedad..." Con dulzura el conocimiento se absorbe de mejor manera.

Bien, vamos al problema. ¡DCL!

Si estamos de acuerdo continuamos. Ahora viene Newton

ΣF_x = m a_x      →        F_x — P_x — Roz = 0  

ΣF_y = m a_y      →        N —  F_y — P_y = 0  

y además conocemos la naturaleza de la fuerza de rozamiento

Roz = μ . N

Ahora combinamos las tres ecuaciones y a otra cosa mariposa. Lo que viene es álgebra. Nos tomamos un recreíto de la física y después volvemos, que faltan cosas muy interesantes. Te marco todo el álgebra con amarillo (como la peste).

De la primera:

F cos α — P sen α = Roz  

Pongo tercera:

F cos α — P sen α = μ . N

Meto cuarta, eh... digo, la segunda ecuación...

F cos α — P sen α = μ . ( F_y + P_y )

F cos α — P sen α = μ F sen α + μ P cos α

Separo el ganado:

F cos α — μ F sen α = P sen α + μ P cos α

F ( cos α — μ sen α) = P ( sen α + μ cos α )

DISCUSION: Despertate, que volvemos a la física. ¿Estará bien ese resultado que escuchamos tantos aplausos? Veamos las unidades. Los paréntesis parecen ser sólo números. Sí, la fuerza F tiene las mismas unidades que P, eso es correcto.

¿Y tiene algún sentido físico todo ese choclo? A ver, a ver... La fuerza F es una fuerza medio esquizofrénica, mirá, porque al crecer aumenta el comportamiento que tiende a ascender al cuerpo, pero al mismo tiempo aumenta la compresión con el plano, lo que aumenta la fuerza de rozamiento que tiende a que el cuerpo no avance.

Como ves, el choclo ese te muestra un fino equilibrio entre todos los componentes del problema, tanto el peso como el ángulo de inclinación, como el coeficiente de rozamiento intervienen en el resultado.

Prestale un minuto de atención al coeficiente de rozamiento. En el numerador aparece sumando y en el denominador restando. Parece (y es muy lógico) que el rozamiento juega limpio, sólo tira para un lado. Porque al aumentar aumenta el numerador y disminuye el denominador, o sea, si aumenta el rozamiento sólo puede esperarse que la fuerza F deba ser mayor.

Pero el asunto α es desquiciante. El único valor amable de α es 0º. En ese caso nos queda F = μ P, o sea Roz. Lo esperable. Pero para valores distintos de cero la cosa se complica. Al aumentar α aumenta su seno y disminuye su coseno. Tal vez eso te ayude. Pensalo vos. Yo en cambio te voy a marcar algo que un matemático no te perdonaría que dejes pasar por alto: la división por cero está prohibida, (te pueden expulsar de la universidad, y hasta del universo).

Los físicos no se dejarían expulsar tan fácilmente, y llaman "ángulo crítico" al que hace que el denominador, cos α — μ sen α, valga cero. De modo que si α es igual, o mayor que aquel cuya tangente vale 1/μ el bloque se queda clavado, y no hay fuerza que lo saque se ese lugar.