NO ME SALEN

  PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
   (Movimiento oscilatorio armónico)

 

¡no me salen!

 

FIS 98 (6.03) - Un cuerpo de masa m unido a un resorte horizontal de constante elástica k describe un movimiento oscilatorio armónico simple de 20 cm de amplitud. Sabiendo que en el instante t = 0 s el cuerpo pasa por la posición de equilibrio moviéndose hacia la derecha del origen de coordenadas con una velocidad de módulo 1 m/s, calcular:
    a) La posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
    b) ¿En qué instantes el cuerpo pasa por el origen de coordenadas?

Como siempre, conviene tener los modelos de ecuaciones horarias a mano:

x = A cos ( ω t + φ)

v = ω A sen ( ω t + φ)

a = ω² A cos ( ω t + φ)

Con los datos del enunciado ya sabemos que la amplitud, A = 20 cm. Hay dos párrafos del enunciado que permiten escribir las ecuaciones casi completas, para obtener las otras dos constantes que nos faltan. Lo que nos cuentan es que para t = 0, x = 0, y que para t = 0, v = 1 m/s (hacia la derecha).

0 m = 0,20 m cos φ

1 m/s = ω . 0,20 m sen φ

De la primera deducimos que φ vale 90° o también 270° ( o sea, π/2 o 3π/2). En ambos casos el coseno vale 0, pero en el primer caso sel seno vale 1 y en el segundo vale -1. Si metemos eso en la segunda vemos que para que la solución correcta era:

φ = 3π/2)

Así la velocidad en ese instante será positiva y el cuerpo se moverá hacia la derecha. (Si te cuesta entenderlo debés recurrir al movimiento circular uniforme asociado al movimiento armónico). Vamos a la segunda ecuación:

1 m/s = ω . 0,20 m . sen 3π/2

1 m/s = ω . 0,20 m . 1

Resulta que ω vale:

ω = 5 s-1

Con las 3 constantes podemos armar las ecuaciones:

   
 

x = 0,20 m cos ( 5 s-1 t + 3π/2 )

v = 1 m/s sen ( 5 s-1 t + 3π/2 )

a =5 m/s² cos ( 5 s-1 t + 3π/2 )

 
   

Como la función posición es repetitiva, habrá muchos instantes en los que la posición valga 0.

0 m = 0,20 m cos ( 5 s-1 t + 3π/2 )

Se ve claramente que lo que tiene que valer 0 es el coseno, que se hace 0 en:
π/2, 3π/2, 5π/2, 7π/2... Resumiendo, en (2n+1) π/2, con n = 0, 1, 2, 3...

De modo que:

5 s-1 t + 3π/2 = (2n+1) 3π/2

5 s-1 t = (2n) π/2

5 s-1 t = n π

t(0m) = n π/5  s

   
  t(0m) = n π/5  s  
   

Nota: como recordarás las funciones seno y coseno son idénticas salvo porque una está desplazade la otra en π/2. De modo que las tres ecuaciones que describen este movimiento también podrían escribirse de este modo:

x = 0,20 m sen ( 5 s-1 t )

v = 1 m/s cos ( 5 s-1 t )

a = 5 m/s² sen ( 5 s-1 t )

La elección seno/coseno es arbitraria, pero de ello depende φ.

   
DESAFIO: ¿El período de la oscilación?  
Algunos derechos reservados con anticipación. Se permite su reproducción citando la fuente. Se agradece a Esteban Djeordjian por el envío de una errata. Última actualización oct-16. Buenos Aires, Argentina.