NO ME SALEN
PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
(Gravitación)

 

¡no me salen!

FIS 71 (d4FIS_14) - Dos planetas describen órbitas circulares de radios RA y RB alrededor de una estrella. El período del planeta A es ocho veces mayor que el del planeta B. Si las velocidades angulares respectivas son ωA y ωB , diga cuál de las siguientes relaciones es la única correcta:


 

a) ωA = 8 ωB y RA = 4 RB
b) ωA = 8 ωB y RA = ¼ RB
c) ωA = ¼ ωB y RA = 2,5 RB
d) ωA =⅛ ωB y RA = 4 RB
e) ωA =⅛ ωB y RA = ¼RB
f) las relaciones  entre ωA y ωB y entre RA y RB dependen de las masas de los planetas.
 

Empecemos por los DCL. Ahí tenés las dos órbitas. Dibujé al planeta A más lejano porque sé que si su período es mayor es porque se halla más lejos de la estrella que el B. Vos también ya tendrías que saber eso, pero no importa, no es necesario ese conocimiento para resolver el ejercicio. Si los hubieras representado al revés, igual podés resolverlo y será el resultado el que te bata la justa.

 

Los puntitos rojos son los planetas. Y el celeste es la estrella. Partamos del dato aportado por el enunciado:

TA = 8 .TB

Y expresemos esos períodos en función de las velocidades angulares. (Tenés que recordar que ω = 2π/T). Entonces:

    2π =   8 . 2π  


ωA ωB
Cancelamos los 2π e invertimos la ecuación. Nos queda:
   
ωA = ωB

Con esto ya podemos descartar las opciones a), b) y c). Analicemos el asunto de los radios. Para ambos planetas se cumple que:

FG = G . m. M/ R²

Donde FG es la fuerza gravitatoria a la que está sometido cada planeta, G es la constante de gravitación universal, m es la masa del planeta, M es la masa de la estrella y R es el radio de la órbita.

Pero el giro de los planetas también obedece, la 2da. ley de Newton:

FG = m . ac

Y en la que ac es la aceleración centrípeta, que como el enunciado nos habla de sus períodos, podemos expresar de esta manera:

ac = 4π² . R / T²

De modo que cada planeta verificará:

   
  m . 4π² . R = G . m . M  


T² R²
   
La masa del planeta se cancela de modo que se cumplirá:    
  R³ = G .M  


T² 4π²
   
Esto valdrá para ambos planetas, de modo que podemos escribir:    
  RA³ = G .M  


TA² 4π²
   
Y también:    
  RB³ = G .M  


TB² 4π²
   
Los segundos miembros de esas igualdades son idénticos, de modo que podemos igualar los primeros:    
  RA³ = RB³  


TA² TB²
   

Esa expresión es lo más parecido a la Tercera Ley de Kepler que podés hallar en cualquier lugar, y si te resulta familiar hasta podrías haber empezado por ahí.

La cuestión es que podemos reemplazar uno de los períodos por su igual según el dato del enunciado (TA = 8 .TB).

   
  RA³ = RB³  


(8 .TB)² TB²
   
O lo que es lo mismo:    
  RA³ = RB³  


64 .TB² TB²
   

Cancelamos el período de B y nos queda:

RA³ = 64 RB³

Extraemos raíz cúbica en ambos miembros...

RA = 4 RB

Con lo que hemos validado la opción...

   
     
  d) ωA = ωB   y   RA = 4 RB  
   
La opción f) se falsa solita ya que te habrás dado cuenta que las masas de los planetas no han sido necesarias para llegar a la opción correcta.    
DESAFIO: ¿Y qué podés decir de las velocidades de desplazamiento de los planetas?  
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