FIS 77 (d4.10) - Hallar a qué distancia entre la Luna y la Tierra debería colocarse un objeto, para que las fuerzas de atracción gravitatoria sobre el mismo se compensaran mutuamente. ¿Depende de la masa del objeto? ¿Qué le ocurriría allí al objeto?
Las masas son m_T = 6 . 10²⁴ kg y m_L = 7,38 . 10²² kg respectivamente, y la distancia Tierra-Luna es 384.000 km.

No puedo negar que este es uno de los problemas que más me gusta... ya que me trae hermosos recuerdos de mi último viaje. Empecemos con un esquemita y ahí mismo aparece el DCL, como en todos los de dinámica:

A ver si estás de acuerdo: coloqué al objeto un poco más cerca de la Luna que de la Tierra, me imagino que sí, ¿verdad? Bueno, si nos llegáramos a equivocar, el resultado del problema deberá decírnoslo. Pero no va a ocurrir, es así nomás. D_TL es la distancia Tierra-Luna, d_oT es la distancia desde el objeto hasta la Tierra y d_oL es la distancia desde el objeto hasta la Luna; queda claro que d_oT + d_oL = D_TL.

F_GT es la fuerza gravitatoria entre el objeto y la Tierra, F_GL es la fuerza gravitatoria entre el objeto y la Luna, M_T la masa de la Tierra, M_L la de la Luna y m la del objeto. Ambas deben valer lo mismo para que el cuerpo esté atraído por igual hacia ambos lados (se compensan mutuamente, como dice el enunciado).

Vamos a los bifes:

F_GT = G . M_T . m / d_oT²

F_GL = G . M_L . m / d_oL²

¿hasta acá vamos bien? Lo único que hice fue aplicar la Ley de gravitación universal para cada par de cuerpos. Primero Tierra-objeto, luego Luna-objeto. El par Tierra-Luna en este partido no juega, ya que ése es un negocio entre ellas dos y al objeto ni le va ni le viene.

Habíamos visto que esas dos fuerzas tenían que ser iguales, ¿te acordás? O sea, Segunda Ley de Newton, ΣF = m a, ΣF = 0, F_GT — F_GL = 0, F_GT = F_GL.

G . M_T . m / d_oT² = G . M_L . m / d_oL²

G y m aparecen en los dos miembros multiplicando, vuelan ya mismo

M_T / d_oT² = M_L / d_oL²

mejor así:

(M_T /M_L) . d_oL² = d_oT²

O, más sencillo (sacando raíz cuadrada en ambos miembros):

(M_T /M_L)^½ d_oL = d_oT

acá nos quedó una ecuación con dos incógnitas, d_oT y d_oL, pero hay un dato que no usamos y justamente se puede relacionar con las incógnitas: D_TL= d_oT + d_oL (ya lo había dicho... cada vez estoy más olvidadizo). Puedo poner una de las incógnitas -cualquiera- en función del dato y de la otra incógnita, por ejemplo:

d_oL= D_TL— d_oT

si meto esto en la igualdad que teníamos habré logrado una ecuación con una sola incógnita: la distancia objeto-Tierra, acá va:

(M_T /M_L)^½ (D_TL— d_oT) = d_oT

Ahora despejo la única incógnita, d_oT, y ya. (Si no te incomoda voy a llamar C a la raíz cuadrada de M_T /M_L):

C . (D_TL— d_oT) = d_oT

C . D_TL — C . d_oT = d_oT

C . D_TL = C . d_oT + d_oT

C . D_TL = d_oT (C + 1)

Y así llegamos a la solución.

d_oT = C . D_TL /(C + 1)

Listo. Ahora hagamos los números:

C = (M_T /M_L)^½ = (6 . 10²⁴ kg /7,38 . 10²² kg)^½

C = 9,02

Entonces:

d_oT = 9,02 . 384.000 km /(9,02 + 1)