NO ME SALEN
EJERCICIOS RESUELTOS DE FÍSICA DEL CBC
(Movimiento con aceleración dependiente del tiempo)

NMS c4.02* - El gráfico de la figura adjunta es un arco de parábola y representa la velocidad en función del tiempo de una partícula que realiza un movimiento rectilíneo. Entonces, en el instante t = 0s la aceleración de la partícula es:

      a) 0              b) 8 m/s²         c) 5 m/s²
      d) 10 m/s²
    e) -8 m/s²        f) -5 m/s²

  manolito

No es sencillo, pero tampoco imposible. No desesperes.

La clave del ejercicio figura en una palabra del enunciado: parábola. El razonamiento es el siguiente: si la velocidad varía de tal modo que su gráfica es una parábola, varía cuadráticammente, y la aceleración (que es la magnitud que describe cómo varía la velocidad) debe variar linealmente, y su gráfica debe ser una recta oblicua.

Es lo mismo que ocurría en el MRUV con la posición y la velocidad: si la posición variaba de tal forma que su gráfica era una parábola, la velocidad se graficaba con una recta oblicua.

Dicho matemáticamente: si la velocidad es una función de segundo grado, la aceleración debe ser una función de primer grado. Tal vez se te aclare el panorama recordando que la aceleración es la derivada de la velocidad. Si te olvidaste las reglas de la derivación podés encontrarlas acá.

Siguiendo con nuestro razonamiento, la función que describe la variación de la aceleración, llamada tirón, j, debe ser constante (y su gráfica debe ser una recta horizontal).

Estos movimientos en los que la velocidad varía con el cuadrado del tiempo (o la aceleración varía uniformemente) se llaman movimientos de tirón constante y, lógicamente, pertenecen al grupo de los movimientos con aceleración dependiente del tiempo. Los modelos de ecuación horaria de estos movimientos los tenés acá (para simplificar muestro el caso particular en el que t0 = 0 s):

x = x0 + v0 t + (1/2) a0 t² + (1/6) j t³

v = v0 + a0 t + (1/2) j t²

a = a0 + j t

j = cte

Aunque nunca hallas visto estos modelos (ni los tengas en tu hoja de fórmulas) se puede llegar a ellos fácilmente si recordás los principios básicos de la derivación y la integración.

Pero además, fijate que la ecuación de posición no nos interesa para nada ya que el enunciado nada dice ni pregunta sobre las posiciones de la partícula. La única ecuación que nos interesa es la de velocidad:

v = v0 + a0 t + ½ j t²

Luego, procedemos de la misma manera que lo hicimos con todos los ejercicios de cinemática siempre: le pedimos a esa ecuación que hable de los instantes que nos interesan. En el gráfico están esos datos: en el instane inicial v0 = 0, en el instante 1 s la velocidad vale 4 m/s y en el instante 2 s la velocidad se anula.

4 m/s = a0 1 s + ½ j 1 s²

0 m/s = a0 2 s + ½ j 4 s²

Con lo cual llegamos a un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, donde las incógnias son a0 y j.

Despejemos j de la segunda:

j = a0 / s

Y eso lo metemos en la primera:

4 m/s = a0 s ½ a0 s

4 m/s = ½ a0 s

Ya llegamos:


   
  a0 = 8 m/s² respuesta b)
   

Ya que estamos calculemos el tirón (tanto en la primera como en la segunda ecuación deben dar el mismo resultado:

j = 8 m/s³

Y es lo que ocurre.

No podemos irnos sin hacer los gráficos y disfrutar de ellos.

   

El gráfico de posición no se puede hacer con precisión porque no conocemos x0... pero podríamos hacerlo, por ejemplo, suponiendo un x0 =  0 m, y sabiendo que para cualquier otro valor de x0 se tratará del mismo gráfico corrido verticalmente más hacia arriba o más abajo... ¿te animás a hacerlo? Se tratará de una función cúbica... o sea... pan comido.

Y ya que estamos con los gráficos... me animo a decir que si los hubiera hecho de entrada, habrías podido predecir el valor de a0 sin realizar ningún cálculo ni plantear ninguna ecuación... ¿cómo?

Mirá el gráfico de aceleración y decime cuánto tienen que valer las áreas encerradas bajo la curva en el intervalo 0 - 1 segundo. ¡Era una papa!

 

   
*Este ejercicio formó parte del examen parcial de Física tomado el 24 de septiembre de 2018.
 
DESAFIO: Hallar el desplazamiento para todo el movimiento.   Ricardo Cabrera
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