NO ME SALEN

  PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
   (Movimiento relativo)


 

manolito

 

FIS c7.13 - (opcional)
    a) Encuentre el radio de curvatura del punto más alto de la trayectoria de un proyectil disparado con un ángulo inicial α con respecto a la horizontal. (Sugerencia: En el punto máximo, la velocidad es horizontal y la aceleración vertical).
    b) Evaluar para: α = 30º y v0 = 10 m/s.
    c) Con los datos del proyectil (b), calcule el radio de curvatura cuando está en la mitad de altura al subir y al bajar, interpetar.

 

¿Pero qué es el radio de curvatura? Toda curva tiene en cada punto una circunferencia (la circunferencia osculatriz) que tiene a misma curvatura que la curva en ese punto. Mirá e esquema:

Cinemática - No me salen - Ricardo Cabrera    

Ahí en esa curva arbitraria te muestro dos puntos con sus circunferencias osculatrices. Cuanto más cerrada es una curva más chiquita es la circunferencia osculatriz y menor el radio de curvatura.

Vamos, entonces, al vértice de una parábola de un tiro oblicuo. En ese punto la velocidad vertical se anula por un instante (ése instante) y la aceleración es perpendicular a la trayectoria. (es el único punto donde eso ocurre).

Ahora bien: si la aceleración de la gravedad es la que produce la curvatura en la trayectoria natural del tiro oblicuo, en ese punto, el vértice, debe ser igual a la aceleración centrípeta de un cuerpo girando en la circunferencia osculatriz:

g = ac

Y al aceleración centrípeta vale:

ac = v²/R

Donde v es igual a v0 cos α, y R es el radio de curvatura. Por lo tanto

   
  R = v²/ g  
   

Vamos al caso particular propuesto por el enunciado, α = 30º y v0 = 10 m/s.:

R = (10 m/s cos 30º)²/ 10 m/s²

   
  R = 7,5 m  
   

Vamos ahora a otro punto de la trayectoria, 2, la mitad de su altura máxima, y2. Primero debemos conocer la altura máxima, que se caracteríza por:

ymáx = v0 sen α tmáx 5 m/s² tmáx²

0 m/s = v0 sen α  10 m/s² tmáx

Operando con las dos ecuaciones a la vez tendremos:

ymáx = 1,25 m , tmáx = 0,5 s

Luego:

y2 = 0,625 m , t2 = 0,146 s

Con el dato del instante podemos conocer la velocidad en el instante 2:

Vy2 = 3,54 m/s , vx2 = 8,66 m/s

Y el cuadrado de la velocidad (que es lo que necesitamos en la ecuación de radio de curvatura:

V2² = Vy2² + vx2²

V2² = 87,49 (m/s

Pero también necesitamos la aceleración centrípeta, que en este caso no es la gravedad sino una parte de ella (mirá el gráfico):

   
Cinemática - No me salen - Ricardo Cabrera

Ahí representé la trayectoria en rojo, la velocidad en el punto 2, la circunferencia osculatriz, la aceleración de la gravedad en celeste y la aceleración centrípeta en violeta, que es la que necesitamos y es una parte de la gravedad. ¿Qué parte?

Si lo mirás bien el ángulo que forma la gravedad y su componente, es el mismo que forma la velocidad con la horizontal, α2. Y la componente de la gravedad que buscamos es:

gc = g cos α2

   

α2 surge de las componentes de la velocidad V2.

α2 = arc tg (Vy2 / vx2)

α2 = 22, 23º

De donde:

gc = 10 m/s² cos22, 23º

gc = 9,25 m/s²

Ya tenemos todos lo ingredientes, calculemos el radio de curvatura en un punto a mitad de la altura máxima:

R = v2²/ gc

R = 87,49 (m/s)² / 9,25 m/s²

   
  R = 9,45 m  
   

Tenés bastante más sobre circunferencia osculatriz y radio de curvatura en los ejercicios de cinemática escalar.

   

DESAFIO: ¿Cuánto vale el radio de curvatura de una recta?

  Ricardo Cabrera
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