NO ME SALEN

  PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
   (Movimiento relativo)


 

manolito

 

FIS 7.12 - (opcional) Una llanta de radio R rueda sin resbalar con velocidad del centro de masa constante v0 a lo largo de un plano horizontal.

a) Verificar que la posición de un punto de su borde, inicialmente en 0, está dada por las ecuaciones:
    x = R (ω t − sen ωt)
    y = R (1 − cos ωt),
donde ω = v0/R es la velocidad angular de la llanta y t se mide desde el instante en que el punto está inicialmente en contacto con el plano.
b) Hallar las componentes de la velocidad y de la aceleración del punto.
c) Dibujar los vectores velocidad y aceleración en un dado instante.
 

Yo sé que parece imposible. Pero si te lo tomás con calma y me seguís el razonamiento, vas a ver que es muy sencillo. Sólo tenés que prestar atención a la mecánica del rodaje, y la geometría te va llevando sola.

Para empezar razoná conmigo que si la llanta rueda sin deslizar entonces ese punto rojo que le dibujé arriba va a tocar el piso a una distancia πR de la vertical donde estaba primero. Pará, lo dije complicado. Probemos así: si los puntos rojos dejaran una marca en el piso, estarían distanciados 2πR (la longitud de la circunferencia de la llanta). ¿Ahora sí?

Cinemática - No me salen - Ricardo Cabrera    

Entonces sigamos. Mirá, para facilitar las cosas puse un sistema de referencia con el eje vertical hacia abajo, y el cero justo a la altura del punto más alto de la llanta. Y comenzamos a estudiar el movimiento observando un punto (el punto rojo) que se encuentra en esa posición. Para t0 = 0, y0 = 0. Y también contamos los giros desde ahí: θ0 = 0.

La llanta gira a una velocidad angular constante ω, de modo que la ecuación de posición angular será:

θ = ω t

tal como indica el esquema que acompaña al enunciado. De modo que al cabo de un tiempo la llanta habrá girado un ángulo θ, y nosotros nos preguntamos cuánto valdrá la posición x e y del punto rojo. Ahora sí, mirá bien el esquema bonito. Y prestale atención al triangulito que sombreé de amarillo.

Ahí se ve clarito que la posición yt es igual a 1 radio menos el cateto adyacente a θ del triangulito. O sea:

yt = R − R cos θ

O lo que es lo mismo:

yt = R ( 1 − cos θ)

Pero ya habíamos visto a qué era igual θ

yt = R ( 1 − cos (ω t))

Con eso ya resolvimos la mitad del problema. Vemos qué pasa con xt.

   
Cinemática - No me salen - Ricardo Cabrera    

Pasado un tiempo t desde que el punto rojo estaba requetearriba, la llanta habrá girado un ángulo θ, y el punto rojo se habrá distanciado horizontalmente una distancia xt. Si la miras atentamente, esa distancia es la suma de lo que avanzó el centro de la llanta más el cateto opuesto a θ en el triangulito amarillo. O sea:

xt = v t + R sen θ

Pero la velocidad del la rueda no es otra cosa que la velocidad tangencial del punto rojo: v = ω R. Te estarás preguntando por qué. Y yo apenas si te voy a dar una pista: ¿por qué será que este ejercicio aparece junto a los ejercicios de movimiento relativo? Otra pista: ¿que pasaría si la rueda estuviera fija y hiciese deslizar un papel en el piso hacia la izquierda? (como esos rodillos que hacen avanzar el papel en una impresora). ¿A qué velocidad se desplazaría el papel?

Bueno, basta de pistas, seguro que la cazaste. Sigamos entonces:

xt = ω R t + R sen (ω t)

xt = R t + sen (ω t))

Llegamos, boló.

   
 

xt = R t + sen (ω t))

yt = R ( 1 − cos (ω t))

 
   

Los chabones no se conforman y ahora nos piden las componentes de la velocidad y la aceleración en un punto. Rojo. Si tenemos las ecuaciones de posición podemos encontrar las de velocidad y aceleración simplemente derivando.

   
 
 

x't = vxt = R ω (1 cos (ω t))

x"t = axt = R ω² sen (ω t)

y't = vyt = R ω sen (ω t)

y"t = ayt = R ω² cos (ω t)

 
   
Bueno... la representación gráfica del los vectores te la dejo a vos. Yo voy a aprovechar para contarte una cosa. Esa curva tan curiosa que dibuja el punto rojo mientras gira la llanta se llama cicloide. Una cicloide es el lugar geométrico originado por un punto de una circunferencia (generatriz) al rodar sobre una línea recta (directriz), sin deslizarse. Fue estudiada desde hace 600 años y se le descubrieron propiedades asombrosas, entre ellas: asustar a los estudiantes del CBC.    
     

 

   

DESAFIO: ¿Dónde se usan los cicloides?

  Ricardo Cabrera
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