NO ME SALEN
   (EJERCICIOS RESUELTOS Y APUNTES TEÓRICOS DE FÍSICA)
   Funciones derivadas
   

 

 

FIS a2.05 - Calcular los puntos en que la tangente a la curva
    f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5
es paralela al eje x.

 

Este es un ejercicio súper clásico, si dobleces ni vericuetos. Ya recontra sabés que la derivada de una función representa la pendiente de la recta tangente en todo punto. Derivemos, pues:

f(x) = x³ 3x² 9x + 5

f'(x) = 3x² 6x 9

Y paralela al eje x significa sin inclinación, o sea, pendiente nula. Para hallar esas abcisas alcanza con pedirle a la función derivada que se anule:

0 = 3x² 6x 9

Esa ecuación se satisface para dos valores. Calculalos como quieras, ya sea con la formulita de los griegos:

   
  xA , xB =  
   

Donde a = 3, b = 6 y c = 9. O con una calculadora científica que tenga automatizada la búsqueda de raíces, o con una aplicación de computadora o de teléfono celular.

La solución es xA = 1 y xB = 3

Para conocer los puntos de tangencia nos faltan las ordenadas, ¡que hay que buscarlas en la función original, no es su derivada!

yA = xA³ 3xA² 9xA+ 5

yB = xB³ 3xB² 9xB+ 5

Vos hacé las cuentas

   
  A (-1 ; 10), B (3 ; -22)  
   
Mirá, te muestro el gráfico superpuesto de la función y su derivada.    

En rojo la función original y en verde su derivada. Modifiqué la escala de las ordenadas para que el gráfico fuese más claro.

Mirá la ubicación de los puntos A y B. Fijate que la curva verde corta el eje de las x, justo en la abcisa en que la roja se pone horizonta.

   
   

 

DESAFIO: ¿Cuáles son las raíces de la función original?   Magnetismo - Ricardo Cabrera
   
   
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