FIS a2.10 - ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua contenida en un depósito cilíndrico, de radio R = 2 m, si se está vaciando uniformemente a razón de 3000 litros por minuto?

Bien, con un poco de conocimiento de geometría e ingenio el ejercicio sale sin necesidad de herramientas de análisis matemático. De todos modos vamos a formalizarlo con esas herramientas, ya que el objetivo es que te familiarices con ellas. Acá va:

El volumen, V, del contenido en el cilindro se puede expresar como el producto de su sección (π.R²) por su altura (o nivel) que llamaremos x porque es una variable. Y el volumen depende de esa variable.

V(x) = π.R². x

Si derivamos esa función lo que obtenemos algo así como la tasa de cambio de volumen respecto del nivel. Su significado no importa mucho en este ejercicio. La cuestión es que como tanto π como R son constantes la derivada nos da:

dV/dx = π.R²

Ahora bien, dV es un diferencial de volumen (un pequeñito cambio de volumen) y dx un diferencial de nivel (un pequeñito cambio de nivel). Por pequeñitos que sean se pueden manejar algebraicamente como cualquier factor.

dV = π.R².dx

Si dividimos por el pequeño intervalo de tiempo dt en el que se vacía una pequeña cantidad de volumen, dV, lo que obtenemos son las derivadas respecto del tiempo, o sea, las velocidades:

dV/dt = π.R². dx/dt

La velocidad de vaciado (variación de volumen respecto del tiempo) es un dato del ejercicio: dV/dt = 3 m³/min. Lo mismo que el radio: 2 m.

Y si metemos eso en la igualdad anterior y despejamos la velocidad del cambio de nivel, dx/dt.

dx/dt = (3 m³/min) / 2 m²