NO ME SALEN
   (EJERCICIOS RESUELTOS Y APUNTES TEÓRICOS DE FÍSICA)
   Funciones derivadas
   

 

 

FIS a2.01 - Calcular por definición las siguientes derivadas:
    a)    f (x) = 3x + 4
    b)    f (x) = x²
    c)    f (x) = 1/x

 
Es fácil, pero hay que arremangarse. Calcular por definición significa que tenés que utilizar la definición de derivada. O sea el límite para Δx tendiendo a 0 del cociente incremental, Δy/Δx.    
f '(x) = lím      Δy  
Δx0
Δx
   
O sea:    
f '(x) = lím     f(x+Δx) — f(x)  
Δx0
Δx
   
Vamos con el primero. La función en un x cualquiera vale 3x + 4, y con un pequeño incremento de x valdrá: 3 (x+Δx) + 4. Entonces:    
f '(x) = lím      3 (x+Δx) + 4 3x 4  
Δx0
Δx
   
f '(x) = lím     3x +3 Δx 3x  
Δx0
Δx
   
f '(x) = lím     3 Δx  
Δx0
Δx
   
  f '(x) = 3 a)
   

Fijate que llegás al mismo resultado al que llegarías aplicando la regla de derivación polinomial (era de esperarse).

Vamos con el siguiente. La función en un x cualquiera vale x², y con un pequeño incremento de x valdrá: (x+Δx)². Entonces:

   
f '(x) = lím     (x+Δx)²x²  
Δx0
Δx
   
f '(x) = lím     x²+ 2 x Δx + Δx²x²  
Δx0
Δx
 

 

f '(x) = lím     2 x Δx + Δx²  
Δx0
Δx
   
Sigamos, no temas:    
f '(x) = lím   ( 2 x Δx + Δx² )  
Δx0

Δx Δx
   
f '(x) = lím   ( 2 x Δx + Δx)    
Δx0
Δx
   
  f '(x) = 2x b)
   
Ya lo sabías, ¿no? Vamos con el tercero. La función en un x cualquiera vale 1/x, y con un pequeño incremento de x valdrá: 1/(x+Δx). Entonces:    
f '(x) = lím    
1 1


x+Δx x
 
Δx0
Δx
   
f '(x) = lím    
x x Δx

x (x+Δx)
 
Δx0
Δx
   
f '(x) = lím     1  
Δx0
x² xΔx
   
  f '(x) = 1/x² C)
   
DESAFIO: Derivá por definición f (x) = 2x³ + 3x² + 4 (no te lo pediría si no supusiera que sos capaz de hacerlo).   Magnetismo - Ricardo Cabrera
   
   
Algunos derechos reservados. Se permite su reproducción citando la fuente. Última actualización mar-16. Buenos Aires, Argentina.