NO ME SALEN
   (EJERCICIOS RESUELTOS Y APUNTES TEÓRICOS DE FÍSICA)
   Funciones derivadas
   

 

 

NMS a2.02 - Se cuenta con 1 km de alambrada para armar un corral con forma de rectángulo. ¿Cuánto deben medir sus lados para que el corral tenga la máxima área posible?

 
Bonito ejercicio, súper clásico, que nos ilustra uno de los usos de la derivación: la maximización o la minimización... O, resumidamente: la optimización.    

En este caso se trata de obtener una configuración que nos brinde la máxima área posible en la construcción de un rectángulo cuyo perímetro, P, vale 1 km.

Si llamamos a y b de los lados del rectángulo, el perímetro es igual a:

P = 2 a + 2 b

   

Por otro lado la magnitud que queremos maximizar, el área, A, es igual a:

A = a . b

Por si no lo notaste, el área no es constante (como el perímetro), es variable. De modo que la expresión anterior podés considerarla una función: la función área, que depende de a y b.

Para hallar las dimensiones del área máxima se procede de la siguiente manera. Primero transformemos la función área para que dependa de una sola variable. De la relación del perímetro despejamos b...

b = ½P a

Y eso lo metemos en la función del área.

A = a . (½P a)

A = a½P a²

Como ves, ahora la función área depende de una sola variable, el lado a. Ahora derivamos esa función, llamémosla A'.

A' = ½P 2a

Igualamos esta función a cero, y de esa igualdad despejamos a. Ese será el valor del lado a que maximiza el área, lo llamaremos aM.

0 = ½P 2aM

aM = P/4

Si metemos este resultado en la ecuación del perímetro hallamos que:

bM = aM

   
  los cuatro lados iguales de 0,25 km  
   

Resulta que el corral más grande es un cuadrado. El problema es muy sencillo y no es improbable que vos y cualquier chacarero lo pueda resolver correctamente de forma totalmente intuitiva y sin hacer ningún cálculo. Pero hay innumerables problemas de optimización en los cuales la intuición no puede brindarnos ninguna ayuda en cambio el análisis matemático sí.

Mirá la explicación:

   

En rojo tenés la función área (que ya te habías dado cuenta de que era una parábola de concavidad negativa en función de un lado, a. Las ordenadas se mide en hectáreas (10.000 metros cuadrados) y las abscisas en cuadras de 100 metros.

De la parábola sólo se muestra el rango que tiene sentido: el lado a puede medir como mínimo 0 metro y como máximo 500 metros.

En verde te muestro la función derivada de la función área (no tiene sentido físico su lectura en las unidades de ordenadas del gráfico), cuyo cero coincide con el máximo de la función área.

   

¿Te cierra?

 

 

DESAFIO: ¿Cuánto vale el área máxima?   Magnetismo - Ricardo Cabrera
   
   
Algunos derechos reservados. Se permite su reproducción citando la fuente. Última actualización may-16. Buenos Aires, Argentina.